Eletrônica
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Eletrônica
Eletrônica Digital: Álgebra Booleana
No tutorial anterior falei um pouco sobre a álgebra booleana, porém não apresentei de forma completa muitos dos conceitos que seguem junto com as operações algébricas definidas com a álgebra booleana.
Como foi dito no tutorial anterior, a álgebra booleana é uma ferramenta matemática simples que nos permite descrever a relação entre as saídas de um circuito lógico e suas entradas através de uma equação (expressão booleana).
Com essa ferramenta é possível analisar e descrever o funcionamento dos circuitos lógicos. Além disso, veremos que a álgebra booleana pode ser usada para simplificar a expressão booleana de um circuito, de modo que tenhamos um circuito construído com um menor número de componentes.
O nome álgebra booleana é em homenagem a George Boole (1815 - 1864) que a desenvolveu para o estudo da lógica. Apresentada em 1854 em um trabalho intitulado An Investigation of th laws of Thought.
Logo, resumimos a álgebra booleana como uma poderosa e valiosa ferramenta para descrever circuitos digitais.
Diferente da álgebra convencional variáveis e constantes na álgebra booleana possuem apenas dois valores permitidos, 0 ou 1. As variáveis booleanas representam normalmente o nível de tensão nas ligações ou terminais do circuito. Por exemplo, em um dado circuito digital o valor booleano 0 representa qualquer nível de tensão definido dentro do intervalo de 0 à 0,8 V, enquanto o valor booleano 1 é dado para qualquer nível de tensão entre 2 a 5 V.
Níveis de tensão entre 0,8 e 2 V são indefinidos, ou seja, não são representados na álgebra booleana, e em circunstâncias normais não devem ocorrer. Isso significa que 0 e 1, não estão presentes no circuito digital, mas representam o nível de tensão presente no circuito, ou seja, representa o estado lógico da variável a ser considerada.
Utiliza-se comumente letras para representar as variáveis lógicas. Por exemplo, A poderia representar uma certa entrada ou saída de um circuito digital, e em qualquer instante teríamos A = 0 ou A = 1.
Na álgebra booleana existe três operações básicas: OR (OU), AND (E) e NOT (NÃO). Essas operações básicas são chamadas de operações lógicas. Já os circuitos digitais conhecidos como portas lógicas podem ser construídos a partir de diodos, transistores e resistores conectados de modo a obter na saída a operação lógica básica (OR, AND, NOT).
Com o uso da álgebra booleana podemos tanto analisar/descrever o circuito lógico quanto projetar circuitos e combinar as operações básicas afim de obter novas relações.
Uma ferramenta muito útil para descrever como a saída de um circuito se comporta de acordo com os níveis presentes nas entradas é o uso da tabela verdade. Ela relaciona todas as combinações possíveis presentes nas entradas com o nível correspondente na saída. Veja na imagem a seguir dois exemplos de tabela verdade.
A Figura 1(a) mostra a tabela verdade para um tipo de circuito de duas entradas. Já a Figura 1(b) mostra a tabela verdade para um circuito de três entradas. De modo geral, estas tabelas relacionam o comportamento da saída em relação às possíveis entradas do circuito. Expressando tudo em níveis lógicos.
Estas tabelas são exemplos, descrevem algum tipo de circuito lógico, mais adiante estaremos aptos a obter este circuito lógico a partir da tabela verdade.
Observe que há quatro linhas para uma tabela de 2 entradas e oito linhas para uma tabela de 3 entradas. Isso significa que para uma tabela de N entradas teremos 2N linhas.
Note também, que as combinações das possíveis entradas formam uma sequência de contagem binária, tornando mais simples escrever todas as possibilidades sem esquecer nenhuma.
O assunto que darei inicio a seguir pode parecer repetitivo, pois já mencionei no tutorial anterior. Porém ele é consequência das operações booleanas.
No tutorial anterior iniciei pela porta AND porém desta vez inicio pela porta OR.
A operação OR é umas das três operações booleanas básicas. A imagem a seguir mostra o resultado quando duas entradas são combinadas pela operação OR para produzir uma saída.
Observe pela tabela que a saída S é sempre 1 quando ao menos umas das entradas A ou B for 1. E 0 quando todas as entradas for 0. Logo, a expressão booleana da operação OR é:
Nesta situação o sinal + não representa a adição ordinária, e sim a operação lógica associada a álgebra, isto pois o maior valor possível na álgebra de boole é 1.
A operação OR também continua válida para mais de uma entrada. Por exemplo, para três entradas (A, B e C) a saída será, de acordo com a operação OR, 1 sempre que uma das entradas for 1. E 0 sempre que as entradas for 0.
A operação que acabamos de ver é lida da seguinte forma: "S é igual a A OR B" ou ainda, "S é igual a A OU B". Estas duas formas são corretas.
A porta lógica OR é um circuito com duas ou mais entradas cuja saída é obtida pela combinação das entradas pela operação OR. Confira na imagem a seguir o símbolo de uma porta OR de duas entradas.
Você pode conferir com a ajuda da tabela verdade que a saída será 1 sempre que uma das entradas for 1. Veja essa afirmação também pelo uso da álgebra booleana aplicando a operação OR.
Para uma porta OR com mais entradas a ideia é a mesma, basta estender o conceito de duas entradas para três, quatro, etc.
De modo geral, podemos fazer um resumo da operação OR.
Estas são as três operações booleanas básicas com suas respectivas portas lógicas. A partir destas operações foram definidas outras propriedades algébricas e outros circuitos que realizam tarefas mais complexas. Mas, este assunto abordarei posteriormente, pois no próximo tutorial aprenderemos como descrever os circuitos algebricamente.
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Comente aí o que você achou deste tutorial, e o que podemos aprimorar!
Até o próximo!
Como foi dito no tutorial anterior, a álgebra booleana é uma ferramenta matemática simples que nos permite descrever a relação entre as saídas de um circuito lógico e suas entradas através de uma equação (expressão booleana).
Com essa ferramenta é possível analisar e descrever o funcionamento dos circuitos lógicos. Além disso, veremos que a álgebra booleana pode ser usada para simplificar a expressão booleana de um circuito, de modo que tenhamos um circuito construído com um menor número de componentes.
O nome álgebra booleana é em homenagem a George Boole (1815 - 1864) que a desenvolveu para o estudo da lógica. Apresentada em 1854 em um trabalho intitulado An Investigation of th laws of Thought.
A álgebra booleana também é utilizada para projetar um circuito que produza uma relação especifica desejada entre entrada e saída.
Logo, resumimos a álgebra booleana como uma poderosa e valiosa ferramenta para descrever circuitos digitais.
Constantes e Variáveis Booleanas
Diferente da álgebra convencional variáveis e constantes na álgebra booleana possuem apenas dois valores permitidos, 0 ou 1. As variáveis booleanas representam normalmente o nível de tensão nas ligações ou terminais do circuito. Por exemplo, em um dado circuito digital o valor booleano 0 representa qualquer nível de tensão definido dentro do intervalo de 0 à 0,8 V, enquanto o valor booleano 1 é dado para qualquer nível de tensão entre 2 a 5 V.
Níveis de tensão entre 0,8 e 2 V são indefinidos, ou seja, não são representados na álgebra booleana, e em circunstâncias normais não devem ocorrer. Isso significa que 0 e 1, não estão presentes no circuito digital, mas representam o nível de tensão presente no circuito, ou seja, representa o estado lógico da variável a ser considerada.
Utiliza-se comumente letras para representar as variáveis lógicas. Por exemplo, A poderia representar uma certa entrada ou saída de um circuito digital, e em qualquer instante teríamos A = 0 ou A = 1.
Na álgebra booleana existe três operações básicas: OR (OU), AND (E) e NOT (NÃO). Essas operações básicas são chamadas de operações lógicas. Já os circuitos digitais conhecidos como portas lógicas podem ser construídos a partir de diodos, transistores e resistores conectados de modo a obter na saída a operação lógica básica (OR, AND, NOT).
Com o uso da álgebra booleana podemos tanto analisar/descrever o circuito lógico quanto projetar circuitos e combinar as operações básicas afim de obter novas relações.
Tabela Verdade
Uma ferramenta muito útil para descrever como a saída de um circuito se comporta de acordo com os níveis presentes nas entradas é o uso da tabela verdade. Ela relaciona todas as combinações possíveis presentes nas entradas com o nível correspondente na saída. Veja na imagem a seguir dois exemplos de tabela verdade.
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| Figura 1 - Exemplos de tabela verdade. (a) Tabela para duas entradas. (b) Tabela para três entradas. |
A Figura 1(a) mostra a tabela verdade para um tipo de circuito de duas entradas. Já a Figura 1(b) mostra a tabela verdade para um circuito de três entradas. De modo geral, estas tabelas relacionam o comportamento da saída em relação às possíveis entradas do circuito. Expressando tudo em níveis lógicos.
Estas tabelas são exemplos, descrevem algum tipo de circuito lógico, mais adiante estaremos aptos a obter este circuito lógico a partir da tabela verdade.
Observe que há quatro linhas para uma tabela de 2 entradas e oito linhas para uma tabela de 3 entradas. Isso significa que para uma tabela de N entradas teremos 2N linhas.
Note também, que as combinações das possíveis entradas formam uma sequência de contagem binária, tornando mais simples escrever todas as possibilidades sem esquecer nenhuma.
O assunto que darei inicio a seguir pode parecer repetitivo, pois já mencionei no tutorial anterior. Porém ele é consequência das operações booleanas.
Operação OR e Porta Lógica OR
No tutorial anterior iniciei pela porta AND porém desta vez inicio pela porta OR.
A operação OR é umas das três operações booleanas básicas. A imagem a seguir mostra o resultado quando duas entradas são combinadas pela operação OR para produzir uma saída.
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| Figura 2 - Tabela verdade da operação OR. |
A operação OR também continua válida para mais de uma entrada. Por exemplo, para três entradas (A, B e C) a saída será, de acordo com a operação OR, 1 sempre que uma das entradas for 1. E 0 sempre que as entradas for 0.
A operação que acabamos de ver é lida da seguinte forma: "S é igual a A OR B" ou ainda, "S é igual a A OU B". Estas duas formas são corretas.
A porta lógica OR é um circuito com duas ou mais entradas cuja saída é obtida pela combinação das entradas pela operação OR. Confira na imagem a seguir o símbolo de uma porta OR de duas entradas.
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| Figura 3 - Símbolo e tabela de uma porta OR. |
Para uma porta OR com mais entradas a ideia é a mesma, basta estender o conceito de duas entradas para três, quatro, etc.
De modo geral, podemos fazer um resumo da operação OR.
1. A operação OR produz 1 como resultado, quando qualquer uma das variáveis de entrada for 1.
2. A operação OR produz 0 quando todas as entradas for 0.
3. Na operação OR, 1+1 = 1; 1+1+1 = 1. Como foi dito anteriormente.
4. A porta lógica OR é um circuito que realiza a operação OR sobre suas entradas.
Operação AND e Porta AND
A segunda operação booleana básica é a operação AND, a tabela a seguir mostra a saída para duas entradas combinadas pela operação AND.
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| Figura 4 - Tabela verdade da operação AND. |
Você pode conferir pela tabela que a saída S será 1 sempre que as entradas A e B for 1. Em qualquer outro caso diferente a saída será 0. Logo, a expressão booleana associada é:
Observe que a operação AND é similar a operação ordinária de multiplicação, porém não representa idealmente o produto das entradas e sim uma ideia simbólica.
A operação AND também é válida para mais de uma entrada. Por exemplo, para três entradas (A,B e C) a saída será 1 sempre que as entradas for 1. E 0 para qualquer uma das entradas igual a 0.
Essa operação é lida da seguinte forma: "S é igual a A AND B" ou ainda "S é igual a A E B". Estas duas formas são corretas.
A porta lógica AND é um circuito cuja saída é obtida pela operação AND das entradas. Confira na imagem a seguir o símbolo da porta AND.
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| Figura 5 - Símbolo e tabela de uma porta AND. |
Observe pela tabela verdade acima que a saída será 1 sempre que as estradas for 1. Faça a análise da porta aplicando a expressão booleana AND. Assim, para mais de duas entradas, a saída será 1 sempre que as entradas for 1.
De modo geral, podemos fazer um pequeno resumo levando em conta as principais características da porta AND e sua operação.
1. A operação AND é realizada do mesmo modo que a multiplicação ordinária de 0s e 1s. Mas não significa multiplicação.
2. A saída é igual a 1 quando todas as entradas for igual a 1.
3. A saída é 0 para o caso em que uma ou mais entradas são iguais a 0.
4. Uma porta AND é um circuito que realiza a operação AND sobre suas entradas.
Operação NOT e Porta NOT
A terceira operação booleana básica que falta ser apresentada é a operação NOT. Essa operação ao contrário da AND e OR, é realizada sobre uma única variável. Por exemplo, a tabela verdade a seguir ilustra a operação NOT sobre uma variável.
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| Figura 6 - Tabela verdade da operação NOT. |
Veja que a saída é 0 quando a entrada é 1. E 1 quando a entrada é 0. Logo, pela álgebra booleana a expressão associada a essa operação é:
A barra em cima da variável indica a operação NOT, que na realidade é a inversão do valor de entrada, ou também chamado de complemento de A.
Essa operação pode ser lida da seguinte forma: "S é igual a NOT A"; "S é igual a NÃO A"; "S é igual ao complemento de A" ou ainda "S é igual a A barrado". Todas essas formas estão corretas.
Já a porta lógica NOT é um circuito que possui uma única entrada e realiza a operação NOT sobre essa entrada. Confira na imagem a seguir o símbolo desta porta.
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| Figura 7 - Símbolo e tabela para porta NOT. |
A porta lógica NOT é comumente chamada de porta inversora ou inversor. Veja que o nível lógico da saída é sempre o inverso da entrada.
Podemos resumir algumas características da porta NOT.
1. A porta NOT realiza a operação de inversão (complemento) sobre uma única variável.
2. O nível lógico da saída é o inverso da entrada.
3. A porta NOT possui uma entrada e uma saída.
Estas são as três operações booleanas básicas com suas respectivas portas lógicas. A partir destas operações foram definidas outras propriedades algébricas e outros circuitos que realizam tarefas mais complexas. Mas, este assunto abordarei posteriormente, pois no próximo tutorial aprenderemos como descrever os circuitos algebricamente.
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Até o próximo!
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